Se poate susține convenționalismul radical în filosofia matematicii? [II]

[continuarea studiului Despre adevărul propoziţiilor matematicii şi logicii la L. Wittgenstein]

de Cristina Nemerovschi

În prima parte a acestui studiu, am discutat două argumente formulate de Baker şi Hacker împotriva convenţionalismului moderat. Aceste două argumente sunt:

Vom analiza în continuarea acestui studiu dacă argumentele formulate de cei doi se aplică nu doar convenţionalismului susţinut de empirismul logic, ci şi celui wittgensteinian.

Unii autori, de pildă Popper, au considerat că un convenţionalism cum este cel al lui Wittgenstein poate fi cu greu combătut. Potrivit lui Popper, “convenţionalismul este un sistem autonom şi defendibil. Încercările ce vizează găsirea de incorenţe sunt sortite eşecului.”

Reproşul cel mai des întâlnit adus convenţionalismului matematic este legat de faptul că, de pe o astfel de poziţie, o mare parte a matematicii clasice este respinsă (cea pentru care existenţa entităţilor matematice, abstracte şi obiective, este un fapt indispensabil). Aşa au procedat, spre exemplu, intuiţioniştii care, cum spune M. Ţurlea, sunt cea mai radicală specie de constructivişti. Intuiţioniştii au respins tot ceea ce ţinea de platonismul matematic. “Constructivismul, în varianta finitistă hilbertiană şi cea intuiţionistă, sacrifică drastic părţi ale ontologiei matematicii”, scrie M. Ţurlea în lucrarea Filosofia matematicii.

Având în vedere că, şi în prezent, majoritatea matematicienilor care “lucrează creativ” aderă la poziţia platonistă deoarece, în opinia lui Ţurlea, această concepţie asupra matematicii le dă iluzia că lucrează cu ceva real, care are existenţă obiectivă, şi nu doar manipulează simboluri (aşa cum consideră formaliştii), este de înţeles de ce convenţionalismul le apare uneori ca o teorie “incomodă” sau, în orice caz, descurajantă.

Baker şi Hacker sunt de părere că lui Wittgenstein nu-i pot fi aduse cele două contra-argumente ce sunt valabile pentru convenţionalismul empirismului logic. Convenţionalistul moderat se confruntă cu următoarea „dilemă distructivă”: dacă apelează la conceptul de consecinţă logică în procesul de specificare a adevărurilor necesare prin convenţie, atunci eşuează în a da o explicaţie generală adevărului necesar; pe de altă parte, dacă nu foloseşte acest concept, atunci face ca “structura deductivă şi forţa constrângătoare a sistemelor logice şi matematice să devină un nonsens”. În opinia celor doi, Wittgenstein – în Remarci asupra fundamentelor matematicii, optează pentru cea de-a doua variantă. C. Deloche este de aceeaşi părere, numindu-l pe Wittgenstein “anarhist matematic”, în lucrarea Filosofia matematicii la Wittgenstein, deoarece susţine că nicio regulă nu este necesară, obligatorie, şi că noi stabilim dacă o formulăm şi o urmăm.

Astfel, Wittgenstein ar relativiza matematica, mergând până la a spune că ea poate fi făcută în moduri cu totul şi cu totul distincte faţă de cel actual, şi că totul este deschis alegerii matematicianului. Matematica poate exista în interiorul mai multor sisteme diferite de reguli. Wittgenstein merge atât de departe încât consideră că nici măcar apariţia contradicţiei într-un astfel de sistem nu ar trebui să ne facă să-l abandonăm, să-i revizuim regulile, deoarece contradicţia poate fi uneori instructivă şi folositoare. În comparaţie cu poziţia altor filosofi ai matematicii, remarcile lui Wittgenstein sunt apreciate de Deloche ca fiind “anarhiste”.

Baker şi Hacker nu sunt de acord cu afirmaţia lui Dummett potrivit căreia Wittgenstein este un convenţionalist radical. Wittgenstein nu se încadrează nici în convenţionalismul strict, nici în cel moderat. Ambele tipuri de convenţionalism susţin că adevărul necesar trebuie caracterizat numai prin referire la forma sub care este exprimat. Wittgenstein, din contră, susţine că acesta trebuie caracterizat în funcţie de rolul pe care-l are în procesul inferării. Ceea ce ridică o propoziţie la rangul de propoziţie necesară este funcţia pe care aceasta o îndeplineşte. Spre deosebire de empirismul logic, Wittegnstein nu susţine că adevărul analitic este adevărat în virtutea limbajului, ca în Remarci, ci mai degrabă că exprimă reguli pentru folosirea cuvintelor.

În Remarci asupra fundamentelor matematicii, filosoful spune că propoziţiile matematicii nu sunt tautologii, ci sunt propoziţii sintetice. Totuşi, spun Baker şi Hacker, dacă ar fi să-l caracterizăm cumva pe Wittgenstein, denimirea de convenţionalist este preferabilă alteia, deoarece o alta i s-ar potrivi şi mai puţin. Dar acest lucru atrage după sine ca filosoful austriac să fie apreciat în proprii săi termeni, şi nu în cei ai convenţionalismului standard.

În loc de concluzie

Filosofia matematicii a lui Wittgenstein nu poate fi apreciată şi înţeleasă în mod corect dacă este separată de întreaga filosofie a autorului. Consideraţiile sale despre matematică – aproape întotdeauna prezentate nesistematic, sub formă de remarci, aforisme – trebuie înţelese ţinând cont de teoriile lui Wittgenstein despre limbaj (limbajul ca oglindă a lumii, apoi teoria despre jocurile de limbaj), statutul propoziţiei formale (a logicii sau a matematicii) faţă de propoziţia empirică, distincţia între sens şi nonsens, şi acestea sunt doar câteva exemple.

De aceea, poziţia convenţionalistă a lui Wittgenstein în ce priveşte matematica nu poate fi extrasă din context şi analizată ca atare – aşa cum spun şi criticii Baker şi Hacker, poziţia convenţionalistă a lui Wittgenstein nu poate fi identificată pe de-a întregul cu convenţionalismul clasic din filosofia matematicii şi, în consecinţă, nu-i pot fi aduse critici identice.

Dacă este nevoie ca poziţiei lui Wittgenstein să-i fie aduse contra-argumente, ele pot fi valabile numai în interiorul sistemului de gândire wittgensteinian, fiindcă altfel, din pricina faptului că remarcile sale sunt fragmentare şi adesea neexplicite, se riscă o denaturare a reflecţiilor pe care filosoful le-a făcut în legătură cu matematica. Iar în cadrul general al gândirii wittgensteiniene, reflecţiile despre natura matematicii îşi găsesc locul alături de celelalte, fără a provoca contradicţii imposibil de explicat.

Bibliografie:

Baker & Hacker, Wittgenstein. Rules, Grammar and Necessity, Basil Blackwell, Oxford, 1985
Deloche C., La Philosophie Des Mathematiques chez Wittgenstein, CNRS Editions, Paris, 1995
Dummett M, Wittgenstein’s Philosophy Of Mathematics, Harvard University Press, 1978
Hempel C, On The Nature Of Mathematical Truth, American Philosophical Review, nr. 25, 1945
Ţurlea M., Filosofia Matematicii, Ed. Univ. Bucureşti, Bucureşti, 2002
Wittgenstein L., Caietul albastru, Ed. Humanitas, Bucureşti, 1993
Wittgenstein L., Remarks on the Foundations of Mathematics, Penguin Books, Londra, 1965
Wittgenstein L., Tractatus Logico-Philosophicus, Ed. Humanitas, Bucureşti, 2001