(1) Cantor, Aristotel, Dialehteismul – Azi, Cantor

(postmodernitate versus postmodernism [XXI])

de Gorun Manolescu

1.

Două mulțimi. Una a cailor, alta a călăreților. Dacă se împerechează fiecare cal cu un călăreț, este posibil ca: ori unul sau mai mulți cai să rămână fără călăreți; ori invers; ori să existe numai perechi. În ultimul caz, cele două mulțimi se zice că sunt echipotente. De aici «puterea» unei mulțimi sau «cardinalul» acesteia. Adică, numărul de elemente ale unei mulțimi.”

2.

Tot de aici pleacă Cantor: ia un șir de numere întregi, ordonate crescător. Și ia alt șir asemenea, dar cu primul element imediat superior celui mai mare din șirul precedent. Ambele având același număr de elemente (mulțimi «echipotente»). Și le împerechează. Și mai observă că lucrul acesta poate să-l facă ori de câte ori are chef. Până la infinit. Deoarece șirul numerelor naturale se întinde la infinit. Și uite așa apar mulțimile infinit numărabile. Și primul număr transfinit: cardinalul unei astfel de mulțimi.

Cantor notează [1]: „[Până acum a funcționat, și funcționează, din păcate] un anumit principiu recomandat tuturor [cel al finalității]….chiar dacă este oarecum simplu și banal; el trebuie să [se] folosească pentru ca plăcerea înaripată de speculația și de concepția matematică” ….să nu o ia razna și să cadă în „pericolul de a ajunge în prăpastia «transcendentului», acolo unde, spre înfricoșare și groază salvatoare, se spune că «totul este posibil»… Odată stabilite aceste lucruri, cine știe dacă nu tocmai punctul de vedere al finalității a fost singurul care a determinat pe autorii opiniei ca tuturor forțelor pline de năzuințe, care ajung așa de ușor în pericol prin aroganță și lipsă de moderație, să le fie recomandată finalitatea… deși în ea nu se poate găsi un principiu fecund”. Și, mai departe: ”este surprinzător că până acum a lipsit cineva care, după știința mea, să fi întreprins o formulare mai completă și mai bine decât am încercat eu aici”….și …„mai cred că se pot admite numărări … nu numai la mulțimile finite, dar și la cele infinite”. Lucru pe care îl face prin introducerea cardinalului unei mulțimi numărabile (ca prim număr transfinit).

3.

Dacă s-ar fi oprit aici, ar fi scăpat de ce-l pândea. Dar nu se astâmpără.

Un prim pas spre prăpastie îl face când începe să se joace cu mai multe cardinale (numere transfinite) de mulțimi infinit numărabile.

Luând, de exemplu, șirul de numere 1, 2, 3,….,í și spunând că í este limita spre care tinde șirul infinit numărabil și, în același timp, cardinalul («alephul» á1 cum îl numește Cantor acest prim număr transfinit) al șirului, Cantor găsește, în pașii ulteriori, că „nu e nimic scandalos să ne imaginăm că după acest prim «aleph» í/ á1 ar putea urma un al doilea al unui șir care începe cu á1+1 și al cărui nou «aleph» este á1+2 ș.a.m.d..

Problema este că pentru șirul á1, á1+1, á1+2…. Nu mai există nici o închidere!

4.

Acum, Cantor este pe marginea prăpastiei. Și se aruncă cu capul înainte, în momentul în care ajunge la infinitul continuu, adică „ne-numărabil” al numerelor reale. Recurgând și la alte considerații conexe (printre altele chiar conceptul de «conexiune») – stop că v-am (ne-am) fãcut capul calendar.

Nu o să vă mai pun, în continuare, imaginația (matematică) la încercare. Ci o să recurg la câteva exemple (consecințe) – zic eu, sugestive – ale «alephurilor» cantoriene [2].

„Să ne închipuim că pe o foaie de hârtie există două puncte A și B, la distanță de 1 cm unul de altul. Trasăm segmentul de dreaptă care unește A cu B. Câte puncte există pe acest segment? Cantor demonstrează că există mai multe decât un număr infinit. Pentru a umple complet segmentul, e necesar un număr mai mare decât infinitul: numărul «tau» (și nu numărul «aleph» cum greșit se spune în [2]; «tau» cuprinzând toate «aleph-urile» posibile n.m. G.M.).

Acest număr «tau» este egal cu fiecare din părțile sale. Dacă se împarte segmentul în zece părți egale, vor exista tot atâtea puncte într-una din părți câte sunt pe tot segmentul. Dacă, plecând de la segmentul în cauză, se construiește un pătrat, vor fi tot atâtea puncte pe segment ca și pe suprafața pătratului. Dacă se construiește un cub, vor fi tot atâtea puncte pe segment ca și în tot volumul cubului. Și așa mai departe până la… infinit.

În această matematică a transfinitului, care studiază numerele «tau» și «aleph», partea este egală cu întregul. „Este absolut demențial, dacă ne plasăm în punctul de vedere al rațiunii clasice și totuși se poate demonstra. Și iată cum matematicile contemporane superioare se întâlnesc cu «Tabula Smaragdina» a lui Hermes Trimegistos («ceea ce se află sus este aidoma cu ceea ce se află jos») și cu intuiția unor poeți ca William Blake («întreg universul într-un fir de nisip»).” Ca să nu mai vorbesc de unele texte ale lui Borges sau de holografie și «holomișcarea» lui David Bohm [3], sau de Philon din Alexandria (primul teolog creștin): „substanța lui Dumnezeu se revarsă indefinit fără pierdere” [4].

5.

Rezultatele lui Cantor sunt încă discutate de matematicieni. Dintre care unii spun că sunt de nesusținut din punct de vedere «logic» (evident, este vorba de logica clasică aristotelică). La care partizanii Transfinitului exclamă: «Nimeni nu ne va alunga din Paradisul cantorian!».

Cantor a spus că toate descoperirile lui i-au fost revelate de Dumnezeu. Dar Dumnezeu nu este infinitul, ci Absolutul. Și a înnebunit. Lucru pe care l-am putea face și noi. Dacă nu ne vom păstra cumpătul pentru ceea ce urmează data viitoare. (Adică Aristotel).

Note:

[1]. citat în: Oskar Becker, „Fundamentele Matematicii” , Ed. Științifică, 1968
[2]. Louis Pauvels et Jaques Bergier, „ Le matin des magiciens”, Galimard, 1960
[3]. David Bohm, „Plenitudinea lumii și ordinea ei”, Humanitas, 1980
[4]. Philon din Amexandria, „Comentariu alegoric al legilor sfinte după lucrarea de șase zile”, Herald, 2006