Despre adevărul propoziţiilor matematicii şi logicii la L. Wittgenstein [II]

[fragment din dizertaţia Natura necesităţii propoziţiilor matematicii la L. Wittgenstein]

de Cristina Nemerovschi (Morgothya)

Cap. 3 – Adevărul matematic – adevăr prin convenție

În filosofia matematicii, logicismul – programul care își propune să întemeieze matematica pe baze logice, în fapt o reducere a matematicii la logică – este considerat o specie de realism sau platonism matematic. Teza centrală a platonismului matematic este existența unei “realități matematice”, obiectivă, independentă de gândirea noastră. Enunțurile matematice sunt despre obiecte abstracte, care există în sine, separat de realitatea pe care o percepem senzorial (existența lor este asemănătoare cu a Ideilor platonice). De aici se dezvoltă o teorie referențială a înțelesului – enunțurile matematice au sens întrucât referă la aceste obiecte, și, de asemenea, o teorie a adevărului-corespondență – enunțurile sunt adevărate dacă sunt conforme cu realitatea.

În Remarci asupra fundamentelor matematicii, Wittgenstein va respinge atât teoria referențială a înțelesului, cât și teoria adevărului-corespondență. El va considera că presupoziția fundamentală a logiciștilor, aceea că putem vorbi despre obiecte matematice care există independent de regulile limbajului în care se vorbește despre proprietățile lor, este greșită și în același timp dăunătoare. Din perspectiva lui Wittgenstein este greșită, întrucât filosoful îmbrățișează o poziție convenționalistă, sau chiar radical convenționalistă (“constructivism radical”, cum o numește Dummett). De pe această din urmă poziție, enunțurile matematicii au sens numai în virtutea unor reguli care sunt construite de matematician. Nu există niște “obiecte” la care aceste enunțuri să refere. Un enunț matematic nu poate fi adevărat în mod absolut (chiar dacă este necesar, în comparație cu unul întemeiat empiric) ci doar în interiorul unui anumit sistem de reguli. Presupoziția principală a logicismului este dăunătoare, consideră Wittgenstein, în primul rând deoarece prin postularea unei realități matematice obiective, abstracte, se deschide drumul speculațiilor metafizice.

Presupoziția de bază a platoniștilor atrage după sine ideea că necesitatea ar fi consecința a ceva ce nu depinde de noi, a unei realități aflate în afara gândirii noastre, idee care i se pare inacceptabilă lui Wittgenstein, deoarece este în dezacord cu întreaga sa filosofie – dacă ceva este să fie cunoscut și se poate vorbi despre acel lucru (în acest caz, despre necesitate), se poate vorbi despre el în mod limpede, nu prin metafore și analogii. Încă din perioada Tractatus-ului Logico-Philosophicus, Wittgenstein se împotrivește conceperii necesității logice și matematice drept o necesitate întemeiată altfel decât pe baza regulilor de limbaj.

A considera că “sursa” necesității matematice stă în afara limbajului, și anume că ea provine din existența acestor obiecte platonice, ideale, despre care se formulează enunțuri ce nu pot fi decât necesare, reprezintă pentru filosoful austriac o absurditate. Deși în Tractatus împărtășește o poziție logicistă, Wittgenstein nu este nici aici de acord cu faptul că enunțurile logicii sunt despre obiecte (1). Am putea astfel afirma că Wittgenstein, în Tractatus Logico-Philosophicus, nu are o poziție logicistă clasică; consideră matematica ca fiind “o metodă a logicii” și, de asemenea, că într-o lume în care propozițiile logicii sunt adevărate, întreaga matematică este și ea adevarată, deci că poate fi întemeiată pe logică. El însă nu împărtășește concepția platonistă potrivit căreia enunțurile matematice referă la obiecte dintr-un domeniu abstract, independent de gândirea celui care formulează enunțul și, mai ales, independent de limbajul în care este formulat enunțul. Numai propozițiile empirice referă la “stări de lucruri”. Nu există “obiecte logice”, spune Wittgenstein în Tractatus.

Alte afirmații din aceeași lucrare converg spre teoria că Wittgenstein a susținut o perspectivă convenționalistă față de adevărurile logicii și, implicit, ale matematicii. Iată câteva exemple:
– “constantele logice nu reprezintă” (2)
– “în logică nu există numere privilegiate” (3)
– “operația nu asertează nimic” (4)
– relațiile logice “nu sunt relații reale” (5)
– “tot ce este posibil în logică este de asemenea permis” (6)
– “problema este de a construi un sistem de semne” (7)
– „ne putem lipsi de propozițiile logice deoarece într-o notație corespunzătoare putem recunoaște însușirile formale ale propozițiilor prin simpla examinare a acestor propoziții” (8)

Totuși, Wittgenstein nu spune că alegerea unui sistem de notație este arbitrară. Mai degrabă, logica și limbajul sunt construite în așa fel încât ne constrâng să adoptăm anumite reguli, în detrimentul altora (idee ce vine în contradicție cu unele interpretări posibile ale afirmațiilor de mai sus). În logică, spune filosoful, “nu noi exprimăm cu ajutorul semnelor ceea ce voim, ci în logica natura semnelor vorbește ea însăși” (9) – logica fiind, la Wittgenstein, un fel de oglindă a realității. În plus, de pe poziții logiciste, Wittgenstein consideră că o propoziție este funcția valorilor de adevăr ale propozițiilor elementare care o compun, deci înțelesul este stabilit pe baza tabelelor de adevăr. Gânditorul austriac împărtășește aici concepția potrivit căreia nu poate exista decât o singură logică, deoarece există un singur limbaj, cel în care se oglindește structura esențială a lumii. Convențiile pe care le stabilim nu sunt deloc întâmplătoare. Logica ne impune chiar ea convențiile pe care trebuie să le stabilim. În Remarci asupra fundamentelor matematicii, convenționalismul wittgensteinian va deveni mai pregnant, odată cu dezavuarea oricărei forme de logicism.

În lucrări mai târzii, precum Caietul albastru sau Cercetări filosofice, filosoful austriac va respinge constant teoria referențială a înțelesului, considerând-o una dintre sursele principale ale erorilor filosofice, un exemplu clasic de “vrăjire a intelectului prin limbaj”. Ceea ce condamnă Wittgenstein este așteptarea ca fiecare concept să refere la un obiect sau să producă o imagine în minte, obiectul respectiv sau imaginea fiind apoi echivalate cu înțelesul conceptului. În realitate, înțelesul nu poate fi stabilit decât în interiorul unui anumit joc de limbaj – înțelesul este modul de folosire a acelui cuvânt. Acesta, înțelesul, nu se găsește “în minte”, ci în uzul public al limbajului, idee prezentă și în Remarci asupra fundamentelor matematicii, unde Wittgenstein aduce o critică subtilă intuiționiștilor, care considerau că înțelesul unui enunț matematic este “imaginea mentală” pe care o produce, deschizând astfel drumul solipsismului – fiecare are imaginile sale mentale, la care ceilalți nu au acces. Spre deosebire de intuiționiști, Wittgenstein consideră că înțelesul enunțurilor matematice este public, evident, deschis oricui, și poate fi observat în modul în care sunt folosite enunțurile, în comportamentul legat de folosirea lor.

Revenind la poziția logicistă a lui Wittgenstein în Tractatus, care este compatibilă cu o teorie convenționalistă – sau lingvistică – a adevărului, se poate face observația că nici Frege, reprezentantul paradigmatic al logicismului, nu acceptă un “platonism ontologic” (10). Potrivit lui Marin Țurlea, Frege adoptă un realism moderat în ce privește statutul obiectelor matematice, la care referă enunțurile acestei științe. Numerele – un exemplu de entități matematice – sunt obiective, dar nu pentru că s-ar afla într-un domeniu al obiectelor abstracte, situat în afara noastră, care așteaptă să fie descoperit, cum susțin adepții platonismului matematic. Obiectivitatea acestora este dată de faptul că se găsesc “în gândire”: Frege preia caracterizarea leibniziană a adevărurilor matematice ca “adevăruri de rațiune”. Așa cum susține S. Vieru, “ontologia realistă fregeană recunoaște și reconstruiește domeniul obiectivului, căci dependența obiectivității de rațiune este considerată în sens gnoseologic și nu ontologic, rațiunea fiind nu demiurgul, ci temeiul de a ajunge la ce este obiectiv” (11). Numerele sunt obiective, dar nu au existență reală – prin “real” Frege înțelege “concret”, adică situat în spațiu și timp.

În Fundamentele aritmeticii, Frege scrie de asemenea că “numărul nu este o entitate externă” (12). Se poate vorbi, deci, și la Frege, ca și la Wittgenstein, de o poziție logicistă întrucâtva diferită față de doctrina clasică platonistă, în esență diferită prin faptul că nici Frege, și cu atât mai puțin Wittgenstein, nu sunt angajați ontologic față de existența unui domeniu al obiectelor abstracte, situat în afara gândirii, care conține entități cum ar fi numerele.

În Caietul albastru, Wittgenstein critică din nou teoria referențială a înțelesului. El numește “rătăcire filosofică” faptul că “un substantiv ne face să căutăm un lucru căruia să-i corespundă”. Aplicat la cazul nostru, conceptul de număr ne-ar trimite în mod greșit la ideea existenței unui obiect căruia să îi corespundă, la care să refere. Purtătorul unui nume nu trebuie confundat cu înțelesul numelui (13). Când ne întrebăm “ce este numărul unu?” (14), așa cum face și Frege în Fundamentele aritmeticii, nu trebuie să ne imaginăm că denotă un obiect, ci să reflectăm asupra modului în care îl folosim.

Teoria referențială ne poate induce în eroare și atunci când ne întrebăm asupra folosirii unui cuvânt; cum spune Wittgenstein, “greșeala ar putea fi exprimată astfel: căutăm folosirea unui semn, dar o căutăm ca și cum ar fi un obiect care co-există cu semnul” (15). În realitate, spune filosoful, “semnul (propoziția) își primește semnificația de la sistemul de semne, de la limbajul căruia îi aparține” (16). Această concepție apare și în Remarci: un enunț matematic are semnificație și i se poate stabili valoarea de adevăr numai în interiorul unui sistem de reguli.

Întregul nostru limbaj are la bază convenții, afirmă Wittgenstein în Caietul albastru. Când vrem să găsim temeiul unui enunț, când întrebăm “De unde știi?”, ajungem la date ale simțurilor de genul “Simt”, “Văd”, care sunt, crede Wittgenstein, rezultat al unor convenții – de numire, de exemplu. Întreg comportamentul nostru, care este public și pe baza căruia stabilim înțelesuri, este rezultat al acceptării unor reguli.

Odată înțeleasă poziția lui Wittgenstein față de natura necesității propozițiilor logicii și matematicii, în capitolele viitoare vom explora consecințele convenționalismului wittgensteinian, noțiunile de demonstrație, regulă și axiomă, încheind cu argumente pro și contra aserțiunii că un convenționalism radical se poate susține în filosofia matematicii.

Note:
(1) “Nu există obiecte logice“, spune Wittgenstein (Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, p. 112, par. 4.441)
(2) Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, p. 99, par. 4.0312
(3) Idem, p.108, par. 4.128
(4) Ibidem, p. 123, par. 5.25
(5) Ibidem, p. 128, par. 5.461
(6) Ibidem, p. 129, par. 5.473
(7) Ibidem, p. 130, par. 5.474
(8) Ibidem, p.146. par. 6.122
(9) Ibidem, p. 148, par. 6.124
(10) M. Țurlea, Filosofia și fundamentele matematicii, p. 74
(11) S. Vieru, citat de M. Țurlea, op. cit., p. 79
(12) Frege, Fundamnetele aritmeticii, citat de M. Țurlea, op. cit., p. 91
(13) Frege face distincția între semnificație (obiectul denotat de un nume) și sens (modul în care se stabilește semnificația)
(14) Wittgenstein, Caietul albastru, Editura Humanitas, București, 1993
(15) Wittgenstein, op. cit., p. 27
(16) Idem

Bibliografie:
Baker & Hacker, Wittgenstein. Rules, Grammar and Necessity, Basil Blackwell, Oxford, 1985
Deloche C., La Philosophie Des Mathematiques chez Wittgenstein, CNRS Editions, Paris, 1995
Dummett M, Wittgenstein’s Philosophy Of Mathematics, Harvard University Press, 1978
Hempel C, On The Nature Of Mathematical Truth, American Philosophical Review, nr. 25, 1945
Țurlea M., Filosofia Matematicii, Ed. Univ. București, București, 2002
Wittgenstein L., Caietul albastru, Ed. Humanitas, București, 1993
Wittgenstein L., Remarks on the Foundations of Mathematics, Penguin Books, Londra, 1965
Wittgenstein L., Tractatus Logico-Philosophicus, Ed. Humanitas, București, 2001