Despre adevărul propoziţiilor matematicii şi logicii la L. Wittgenstein [III]

[fragment din dizertaţia Natura necesităţii propoziţiilor matematicii la L. Wittgenstein]

de Cristina Nemerovschi

2. Consecinţe ale convenţionalismului wittgensteinian

Consecinţele poziţiei wittgensteiniene din filosofia matematicii sunt multe. Putem include aici respingerea, în primul rând, a existenţei „reale” a entităţilor despre care tratează enunţurile matematice, apoi respingerea teoriei adevărului-corespondenţă şi a teoriei referenţiale a înţelesului (despre care am vorbit în capitolul anterior), opţiunea pentru “finitism” (sau „strict finitism”). O altă consecinţă directă ar fi o poziţie pragmatistă în filosofia matematicii. În acest capitol ne vom ocupa de prezentarea poziţiei lui Wittgenstein faţă de trei concepte despre care filosoful vorbeşte detaliat şi explicit şi care au legătură cu tot ce ar putea fi inclus în mulţimea consecinţelor convenţionalismului wittgensteinian. Este vorba despre noţiunile de demonstraţie, regulă şi axiomă. Analiza acestor trei concepte este interesantă nu doar pentru că ele stau la intersecţia direcţiilor care pot fi trasate în filosofia matematicii a lui Wittgenstein, cât şi pentru că sunt un exemplu al modului în care filosoful austriac analizează un concept.

2. 1. Noţiunile de demonstraţie şi regulă

Conceptul de demonstraţie este considerat de Wittgenstein esenţial în matematică, deoarece este strâns legat de conceptul de adevăr. Nu putem şti cu exactitate ce înţelegea filosoful prin “matematică“ – în mai multe locuri pe parcursul lucrării Remarci asupra fundamentelor matematicii afirmă că matematica este “calculare”, în altele că este un concept vag şi că el are în vedere, când vorbeşte despre matematică, “ceea ce fac matematicienii acum”. Indiferent la ce se referă Wittgenstein atunci când vorbeşte despre matematică, acesta consideră că demonstraţia este “un model”, “paradigmă”, a modului în care stabilim adevărul sau falsitatea unui enunţ.

Un enunţ matematic, spune Wittgenstein, se “construieşte” conform anumitor reguli. Demonstraţia ne arată cum a fost construit enunţul conform acestor reguli; când regulile rămân aceleaşi, şi modul în care le folosim (demonstraţia) va fi de fiecare dată aceeaşi. Faptul că demonstraţia nu se schimbă, date fiind aceleaşi condiţii de operare, nu este contingent, ci reprezintă o necesitate. Spre deosebire de demonstraţie, care are un caracter necesar atunci când regulile de operare nu sunt schimbate, experimentul poate avea rezultate identice de mai multe ori, dar asta se întâmplă în mod contingent. Dacă adun 200 de mere cu alte 200 de mere şi obţin de mai multe ori 400 de mere, această adunare nu este o demonstraţie, ci un experiment. Demonstraţia trebuie să fie în stare să explice de ce am obţinut un anumit rezultat, cu alte cuvinte ce regulă am folosit. Aceasta, spune Wittgenstein, ne arată despre un enunţ “cum este într-un anumit fel”, adică pe ce bază este aşa cum este, în timp ce experimentul ne spune doar ce este sau cât este.

“Construim demonstraţia odată pentru totdeauna”, spune Wittgenstein. Demonstraţia nu se va schimba atâta timp cât condiţiile de raţionare, adică regulile, rămân aceleaşi. În acest sens, este o paradigmă, iar acceptarea ei implică acceptarea prealabilă a regulilor pentru care stă demonstraţia, a căror “imagine” este ea. “O procedură desfăşurată în acest fel va duce întotdeauna la această configuraţie”, adică urmând aceleaşi reguli vom obţine de fiecare dată o demonstraţie identică.

Acceptarea demonstraţiei unui enunţ sau a unei teoreme reprezintă acceptarea caracterului necesar al acelui enunţ sau al acelei teoreme. Odată acceptată respectiva demonstraţie, ceea ce a fost demonstrat îşi pierde caracterul contingent. Acest lucru nu este deloc surprinzător dacă avem în vedere că a accepta o demonstraţie echivalează cu a accepta regulile care stau la baza acesteia şi dacă avem în vedere că, la Wittgenstein, necesitatea nu este decât o consecinţă a acceptării unor anumite reguli lingvistice. Ideea că necesitatea provine din acceptarea unor reguli lingvistice de care ţinem cont este prezentă, cum am mai spus, şi în Tractatus Logico-Philosphicus. Spre deosebire de enunţurile ştiinţelor empirice, care sunt contingente deoarece referă la realitatea pe care o percepem prin experienţă şi care este supusă schimbării, enunţurile logicii şi matematicii au un caracter necesar ce provine din faptul că, în formularea lor, ne supunem unor reguli. Nu este vorba despre o necesitate de tip ontologic, susţine Wittgenstein în Tractatus Logico-Philosphicus şi Remarci asupra fundamentelor matematicii, ci despre o necesitate lingvistică, întemeiată pe acceptarea unor reguli. Propoziţiile matematicii sunt necesare pentru că noi le facem să fie aşa, prin simplul fapt că ne supunem unor reguli pe care tot noi le alegem. Apare aici o presupoziţie strict constructivistă, anume importanţa alegerii, deciziei în favoarea unui cadru lingvistic sau a altuia. Putem să alegem orice cadru dorim, consideră Wittgenstein şi constructiviştii, dar trebuie să ne putem justifica decizia. De asemenea, putem opta pentru orice tip de sistem formal, care satisface cerinţele de completitudine şi consistenţă (non-contradicţie), spun constructiviştii.

Chiar dacă rezultatul experimentului ar fi de fiecare dată acelaşi, el ar rămâne tot un experiment; nu ar arăta decât că lucrurile “s-au comportat normal”. Experimentul nu întemeiază un enunţ, vrea să spună Wittgenstein.

Demonstraţia, mai spune Wittgenstein, ne poate face să credem că adevărul enunţului demonstrat există în virtutea unei realităţi obiective, independente de demonstraţie. Aceasta este însă o iluzie, spune filosoful, şi ea a fost perpetuată prin confuzii care s-au născut din formalizarea mult prea insistentă a demonstraţiei. Intruziunea simbolismului russellian, este de părere Wittgenstein, “a provocat un rău considerabil”, deoarece acoperă, ascunde prin simboluri formele importante ale demonstraţiei, făcându-le de nerecunoscut.

Forma demonstraţiei poate fi însă înşelătoare adeseori, aşa cum consideră Wittgenstein că sunt multe aspecte ale limbajului natural, motiv pentru care o formalizare este totuşi utilă. Ea nu trebuie să fie însă excesivă şi nu trebuie să ne facă să uităm punctul de pornire, acela că adevărul enunţului se construieşte în timpul demonstraţiei, el nu există independent de aceasta. Wittgenstein, pe considerente similare, obiectează nu numai împotriva formalizării excesive, ci şi împotriva logicismului care se face vinovat de popularea matematicii cu entităţi metafizice, platoniste. Logicismul a deformat gândirea atât a matematicienilor cât şi a filosofilor, care nu mai pot să înţeleagă că valoarea de adevăr o conferim noi enunţurilor, nu o posedă acestea a priori, spune el. Valoarea de adevăr este ceva convenţional, perspectivă ce o contrazice pe cea platonistă. Wittgenstein exprimă cu claritate această idee: “chiar dacă propoziţia matematică demonstrată pare să indice o realitate în afara demonstraţiei însăşi, este totuşi doar expresia acceptării unei noi dimensiuni (a realităţii)”.

Demonstraţia se desfăşoară pe baza luării de decizii; odată demonstrată, o propoziţie are statut de regulă. Esenţial este procesul prin care demonstraţia construieşte o propoziţie, spune Wittgenstein, căci demonstraţia ne arată şi cum se construieşte.

Odată demonstrată o propoziţie, demonstraţia va constitui înţelesul propoziţiei.

O demonstraţie nu este o descriere a unui procedeu matematic – ea are un caracter normativ. Spune că trebuie să fie aşa, nu doar că este aşa – acest lucru îl face experimentul. Ea introduce paradigme noi. Nu putem spune că demonstraţia descoperă ceva ce era existent, ci mai degrabă că inventeză o nouă paradigmă. În acest sens, ea este normativă şi nu descriptivă.

Wittgenstein accentuează ideea că matematica reprezintă o creaţie umană continuă, în care matematicianul ia permanent decizii. Din acest motiv, noi studiem matematica aşa cum este ea acum, nu cum va fi în viitor, pentru că nu putem anticipa deciziile pe care le vor lua matematicienii de acum înainte, dacă vor inventa şi apoi accepta alte reguli, etc. Wittgenstein respinge categoric metafora matematicianului ca descoperitor, propusă de Frege, care afirmase: “Matematicianul nu poate crea mai mult decât geograful – el poate numai să descopere ce există şi să-i dea un nume”.

2. 2. Noţiunea de axiomă

Axiomele unui sistem matematic sunt propoziţiile pe care le considerăm adevărate, fără a le demonstra. Poziţia tradiţională era aceea că dintre propoziţiile unui sistem le vom considera axiome pe cele autoevidente.  Wittgenstein consideră, în acord cu teoria empiriştilor logici (susţinută, spre exemplu, de Hempel) că orice propoziţa sistemului poate fi luată ca axiomă şi că totul depinde de alegerea pe care o face matematicianul. Este evident aici constructivismul radical al lui Wittgenstein – nimic nu este dinainte dat, matematicianul construieşte după propria voinţă, ţând seama doar ca sistemul său să fie complet şi non-contradictoriu.

Axioma, spune Wittgenstein, nu are caracter necesar pentru că ceea ce susţine ea este mai probabil decât ceea ce susţine o propoziţempirică, ci pentru că noi îi oferim o funcţie diferită de cea a unei propoziţii empirice, ba chiar în conflict cu funcţia acesteia din urmă.

Rolul propoziţiei empirice este de a ne informa în legătură cu realitatea pe care o percepem prin simţuri. De aceea, ea nu poate fi decât contingentă, nu în sensul că simţurile ne pot înşela, ci prin faptul că realitatea empirică însăşi este contingentă, deoarece noi o cunoaştem așa cum este într-un anumit moment, fără a putea spune ceva necesar despre cum va fi în viitor. Propoziţia matematică are un caracter anticipativ în sensul că, de fiecare dată când sunt urmaţi anumiţi paşi, vom obţine acelaşi rezultat. Propoziţia matematică, în schimb, nu ne dă informaţii despre realitatea empirică. Tot ce ne poate spune o astfel de propoziţie se referă la reguli lingvistice, la convenţii. În acest sens, funcţia unei propoziţii matematice este în conflict cu cea a unei propoziţii empirice.

Când “cuvintele unei axiome sunt date”, sensul axiomei este încă indeterminat, spune Wittgenstein. Sensul va fi fixat abia după ce matematicianul decide care este statutul propoziţiei respective, dacă o acceptă ca axiomă a sistemului sau ca propoziţie ce urmează a fi demonstrată (caz în care această operaţie îi va fixa înţelesul). Revine aici echivalarea înţelesului cu modul de folosire a unei propoziţii. Este o poziţie apropiată de pragmatism, pe care o va îmbrăţişa Wittgenstein pe tot parcursul lucrării Remarci asupra fundamentelor matematicii. Analog, sensul unui termen este dat numai odată cu folosirea lui într-o propoziţie. În concluzie, stabilirea înţelesului unui termen este tot o activitate de creaţie liberă a matematicianului.

În ce priveşte aşa-numita autoevidenţă a axiomelor matematice, realismul matematic consideră că ea este rezultatul faptului că enunţurile matematice exprimă adevăruri înnăscute, pe care noi nu le cunoaştem prin experienţă, ci le recunoaştem cu ajutorul intuiţiei. Wittgenstein adoptă şi aici o poziţie pragmatistă: autoevidenţa este „cel mai simplu mod în care îmi pot imagina acele axiome”. Nu autoevidenţa, ci faptul că folosim o axiomă ca pe o axiomă o fac să fie axiomă. Dacă din motive de simplificare a exprimării, alegem să recunoaştem o axiomă după caracterul ei autoevident, nu trebuie să uităm că am operat acest lucru în virtutea unei convenţii. “Nu faptul că noi găsim propoziţia adevărată în mod autoevident, ci faptul că noi facem ca autoevidenţa să conteze, o face să fie propoziţie matematică”, spune Wittgenstein.

Autoevidenţa unei propoziţii constă în imposibilitatea de a ne imagina contrariul acelei propoziţii. Este însă mai mult decât atât, spune Wittgenstein. Dacă acesta ar fi unicul criteriu, nu am putea distinge prea bine caracterul diferit al axiomei faţă de cel al propoziţiei empirice. Este vorba despre faptul că propoziţia matematică nu poate fi decât adevărată dacă noi alegem să respectăm regulile. Este exact ceea ce o deosebeşte de un experiment. Dacă, efectuând un experiment, constatăm în mod greşit că 2+2=5, opusul acestei propoziţii (2+2 nu fac 5) nu este infirmat, pentru că adevărul propoziţiei a fost stabilit în mod contingent, pe baze empirice.

Wittgenstein face şi câteva remarci legate de modul de exprimare a axiomelor – pentru că axioma este o parte specială a discursului, ar trebui să fie precedată de un semn de aserţiune special, pentru a şti că avem de-a face cu o propoziţie care are o funcţie diferită de cea a unei propoziţii empirice. Și în cazul axiomelor, suntem duşi de multe ori în eroare de exprimarea vagă a limbajului. Clarificarea confuziilor de limbaj este valabilă şi în ce priveşte axiomele.

Afirmaţia lui Wittgenstein cum că o propoziţie matematică se sprijină pe patru picioare, nu pe trei – este supradeterminată poate fi interpretată în sensul sugerat anterior. Spre deosebire de propoziţia empirică, propoziţia matematică este determinată de reguli lingvistice. Chiar dacă acestea creează uneori confuzii, nefiind suficient de explicite şi univoce, ele stabilesc valoarea de adevăr a propoziţiei matematice într-un mod necesar, deoarece nu au nimic de-a face cu empiricul. Propoziţia matematică este adevărată în virtutea limbajului în care este formulată, iar adevărul ei este necesar atâta timp cât nu schimbăm cadrul lingvistic. Fiind adevărată în virtutea unei convenţii, adevărul ei este unul pe care îl stabilesc matematicienii.

Bibliografie:

Baker & Hacker, Wittgenstein. Rules, Grammar and Necessity, Basil Blackwell, Oxford, 1985
Deloche C., La Philosophie Des Mathematiques chez Wittgenstein, CNRS Editions, Paris, 1995
Dummett M, Wittgenstein’s Philosophy Of Mathematics, Harvard University Press, 1978
Hempel C, On The Nature Of Mathematical Truth, American Philosophical Review, nr. 25, 1945
Ţurlea M., Filosofia Matematicii, Ed. Univ. Bucureşti, Bucureşti, 2002
Wittgenstein L., Caietul albastru, Ed. Humanitas, Bucureşti, 1993
Wittgenstein L., Remarks on the Foundations of Mathematics, Penguin Books, Londra, 1965
Wittgenstein L., Tractatus Logico-Philosophicus, Ed. Humanitas, Bucureşti, 2001